*Vicente Aboites
Debido a la pandemia del virus Covid-19 es frecuente escuchar a comentaristas en la televisión, la radio u otros medios de comunicación masiva, que la transmisión de este virus es “exponencial”.
Recordemos primeramente que una progresión aritmética es una sucesión de números relacionados entre sí por una ley matemática, por ejemplo, en la siguiente sucesión de números: 4, 7, 10, 13, 16… Podemos inmediatamente notar que la diferencia entre cualquiera dos términos es una constante pues: siete menos cuatro es tres; diez menos siete es tres; trece menos diez es tres, etc. La diferencia entre todos los términos sucesivos de la progresión es tres y ésta es la regla matemática que define a la progresión de este ejemplo. Por tanto, en general podemos decir que una progresión aritmética es aquella en la que, “la diferencia entre todos los términos sucesivos de la progresión es una cantidad constante”. La gráfica de una progresión aritmética es siempre una línea recta y debido a esto se dice también que, “el crecimiento es lineal”.
Por otra parte, una progresión geométrica es también una sucesión de números relacionados entre sí por una ley matemática específica, por ejemplo: 3, 9, 27, 81, 243… Podemos notar que cada nuevo término se obtiene tomando el término anterior y multiplicándolo por una constante, en este ejemplo la constante multiplicativa es el número tres, pues: tres multiplicado por tres es nueve; nueve multiplicado por tres es veintisiete, y así para los demás términos. Igualmente podemos notar que dividiendo entre sí dos términos sucesivos de la progresión obtenemos una cantidad constante que en este ejemplo es el número tres pues: nueve dividido entre tres es tres; veintisiete dividido entre nueve es tres; ochenta y uno dividido entre veintisiete es tres, y finalmente; doscientos cuarenta y tres dividido entre ochenta y uno es tres. La gráfica de una progresión geométrica crece mucho más rápido que la de una progresión aritmética. Al tomar los primeros dos términos de una progresión geométrica se podría pensar que el crecimiento es lineal (en el ejemplo anterior, de 3 pasa a 9), sin embargo, es claro inmediatamente después que cada término de la progresión geométrica crece mucho, muchísimo, más rápido que en una progresión aritmética. La cantidad por la cual se multiplica cada nuevo término de una progresión geométrica se llama “razón” y puede ser cualquier número sin embargo hay un número específico, que es la famosa constante de Euler: e=2.71828…, que tiene la propiedad de que: la taza del crecimiento de la función es proporcional al valor mismo de la función i.e. el valor de la derivada de la función exponencial es igual al valor de la función exponencial. Esta es la función exponencial y describe necesariamente un crecimiento exponencial: Como ejemplo partamos de un número inicial para una serie geométrica-exponencial, digamos el número 1, el siguiente término de la progresión se obtiene multiplicando el número uno por la constante “e” y el resultado es, 2.71828; el siguiente término se obtiene nuevamente multiplicando el resultado anterior por la constante “e” y obtenemos 7.38905; el siguiente término se obtiene multiplicando el resultado del término anterior nuevamente por la constante “e” y obtenemos 20.08553; y así sucesivamente para los términos subsiguientes. Cuando una progresión geométrica usa como “razón” la constante “e” decimos que tenemos una función exponencial.
Podemos resumir lo anterior así: i) En las progresiones aritméticas la sustracción de dos términos sucesivos es siempre una constante. ii) En las progresiones geométricas la división de dos términos sucesivos siempre es una constante. iii) Si en una progresión geométrica la “razón” usada entre términos sucesivos es la constante de Euler “e=2.71828…” se obtiene una función exponencial.
Es interesante saber que las funciones exponenciales se encuentran en muchos fenómenos de la naturaleza. Ejemplos notables entre muchos otros son los siguientes: i) El voltaje de carga de un capacitor al ser cargado por una batería, ii) La corriente de descarga de un capacitor a través de una resistencia, iii) Las reacciones nucleares en cadena como las encontradas en una explosión atómica, iv) El decaimiento radioactivo de un isótopo como en las pruebas de datación por Carbono 14, v) El crecimiento de las poblaciones animales suponiendo alimento infinito y no depredadores, vi) La infección por un virus en una población no inmunizada como es el caso del Covid-19, vii) El crecimiento, o decrecimiento, económico de un país, viii) La amplificación de la luz en un amplificador láser
Es preocupante notar que algunas gráficas mostradas por la Secretaría de Salud para el número de casos del Covid-19 hablan de un “aplanamiento” sin embargo la información (hasta el 3 de junio) en realidad muestra en el número de casos, un crecimiento claramente exponencial.
Por otra parte, la información proporcionada por Wikipedia para nuestro México al día 3 de junio, (https://en.wikipedia.org/wiki/2020_coronavirus_pandemic_in_Mexico), sigue mostrando también un crecimiento exponencial (note que la gráfica es semilogarítmica).
Es importante subrayar también que todo modelo matemático que realiza extrapolaciones a partir de un número dado de datos (ya sea usando ecuaciones diferenciales o regresiones y otros análisis estadísticos), necesariamente tendrá un error o incertidumbre que será mayor entre más alejada esté la predicción del último dato real disponible.
Por otra parte, el factor de reproducción “R” mide el número promedio de personas que una persona infectada transmite a otras. Es un número que mide qué tan transmisible o contagiosa es una enfermedad. Este factor es crucial para determinar si en una infección continuará incrementándose el número de casos, seguirán igual, o disminuirán. Por ejemplo, si cada persona infectada transmite en promedio su infección a otras tres personas, es decir si R = 3, el crecimiento de la población infectada a partir de este caso será el siguiente: Primeramente, un caso; en seguida tres casos; en seguida nueve casos; en seguida veintisiete casos, en seguida ochenta y un casos, etc. Desde luego, el resultado final depende también del número de fallecimientos. El valor de R constantemente cambia debido a numerosos factores de política pública e interacción social. Jonathan Ball, profesor de virología molecular de Universidad de Nottingham en Gran Bretaña señala que: “La razón por la que este parámetro es de interés no es solamente porque proporciona una idea de cuanta gente probablemente será infectada, sino también una idea de que tan efectivas son las medidas tomadas para terminar con esta situación”
La Organización Mundial de la Salud (WHO) estima que al inicio de marzo el factor R para el coronavirus estaba entre 2 y 2.5. A modo de comparación la gripa estacional tiene un factor R de aproximadamente 1.3 mientras que el sarampión tiene un factor R de entre 12 y 18. Es también importante subrayar que R es una medida de que tan infeccioso es un virus más no de que tan mortal es. De acuerdo a estimaciones realizadas en abril por el Imperial College de Londres en Europa el valor de R antes de que se tomaran medidas de confinamiento social estuvo entre 3 y 4.6. Actualmente en Gran Bretaña y debido a las severas medidas de confinamiento el factor R se encuentra entre 0.5 y 0.9. En China, en la región de Wuhan, las restricciones a los viajes y movilidad redujeron el facto R de 2.35 a 1.05 en solamente una semana. No hay duda de que el distanciamiento social tiene un efecto importante en el factor R. Los planes para el regreso a la normalidad deben de ser paulatinos con objeto de determinar el efecto de cada medida tomada en el factor R. Por ejemplo, el abrir restaurantes, escuelas, centros de trabajo, centros deportivos, discotecas, etc. debe de hacerse paso a paso y no todo simultáneamente pues entonces sería imposible determinar en efecto que cada cosa tiene en el factor R. El relajamiento de algunas medidas de confinamiento en Alemania hizo que el factor R pasara rápidamente de 0.7 a 1.3. La siguiente Gráfica muestra el aplanamiento de la curva de casos en Alemania debido a la disminución del factor R.
Es importante comparar la Figura 1 con datos de México y la Figura 3 con datos de Alemania. En este último caso se ve con claridad el “aplanamiento” de la gráfica debido a la disminución del parámetro R.
En todos los países del mundo las medidas de confinamiento tuvieron como propósito evitar el colapso de los sistemas médicos de cada país. Sin embargo, mientras no haya una vacuna o un tratamiento efectivo para el COVID 19, el número de casos inevitablemente seguirá aumentando.
